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基金定投“年收益率”的计算

jpzhan 2018-05-10 股票收益公式 评论
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基金定投“年收益率”的计算

发布时间:[2009-06-19 10:30:37] 来源:中金贴吧向专家提问 基民吧

请看如下问题:

张先生做基金定投十年,每月投入资金一千元(基金设为红利再投资),十年累计投资12万元。十年后赎回,实际市值为24万元。请问张先生投资的平均年收益率是多少?

这个问题貌似简单。不过我估计几乎没有人能对这个问题或类似的问题简单通过“心算”得到答案,因为这里面包含“每个月”的投资和“每个月”投资的“复利效应”。仔细思考后您就会发现,它其实是一个非常复杂的函数。

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如果是简单总收益率,谁都知道答案是100% ((24/12-1)*100% = 100%)。

因为有“复利效应”,每年平均收益率,当然不是简单的 100%除以10年,得到10%的年平均收益。

那么是不是这么计算?因为一共投资了十年,也就是说第一笔钱投资了120个月,第二笔钱投资了119 个月..............最后一笔钱投资了0个月。所以平均下来,相当于所有的钱投资了60个月(五年)。所以年平均收益率是100%除以5年,结果是每年20%。

这个计算方法也是错误的。

为什么呢?因为市场的“复利效应”是指数增长,而且是“每月”都应该计算利润;上述计算方法只是“算术平均”,当然得不到正确的结果。看一下就知道,每个月的投资在下个月都产生“复利”,在这种算法中并没有被包括进去。

正确的计算方法是这样的:

假设定期投资中的“月平均收益率”是x;那么年平均收益率是(1+x)^12-1;也就是一年12个月,每月产生复利(共产生12次)后,扣除成本。

因为定投中是“每月”进行投资的,所以最精确的算法要精确到“月平均收益率”,然后通过“月平均收益率”换算得到“年平均收益率”。

取张先生每月投资的金额为“a”(其实可以是任意单位),那么张先生:

最后一个月 投资的钱在赎回时市值是:a

倒数第二个月投资的钱在赎回时市值是:a*(1+x)

倒数第三个月投资的钱在赎回时市值是:a*(1+x)^2 (经过两个月的“复利效应”)

倒数第四个月投资的钱在赎回时市值是:a* (1+x)^3 (经过三个月的“复利效应”)

..............

依此类推

..............

倒数第n个月的钱在赎回时市值是:a* (1+x)^(n-1)

.......

在赎回时,张先生得到的总金额是以上所有月份投资的钱,在赎回时的市值的总和:

a*(1+(1+x)+(1+x)^2 + ... + (1+x)^(n-1))。

以上其实不仅仅局限于上述问题中“投资十年”情形;n 可以是任意自然数。

我们将上述市值总和记为 “A”,也就是:

A = a*(1+(1+x)+(1+x)^2 + ... + (1+x)^(n-1))

学过“等比级数”的人知道(高中数学知识),上述右侧其实是一个“等比级数”。这里分两种情形讨论:

(1)如果 A=a*n;这种情况下就是投资的收益为零,自然收益率也为零;因为非常简单,就不详细说了。(之所以仍然要提到这种情况,是从理论“解方程”的角度出发,是必须要考虑这种情形的,否则程序会出错。)

(2)如果收益率不为零的情况下,不管是正收益还是负收益:

对上述“等比级数”“求和”,其结果是:

A = a*((1+x)^n-1)/((1+x)-1);

也就是:

A = a*((1+x)^n-1)/x;

也就是:

(1+x)^n - (A/a)x - 1 = 0

解上述“一元n次方程”,得到的解(x的值),就是“月平均收益率”,然后通过“月平均收益率”用“(1+x)^12-1”,可以换算得到“年平均收益率”。

需要说明的是,上述“一元n次方程”并不是“手到擒来”可以解的;比方说投资十年,n的值是120,对一个“一元120次方程”,想得到一个简单的解析答案,即使是最好的数学家也没有多少办法。

感谢现在的计算机技术和编写程序手段,使得我们对上述方程能很方便得到一个数值解。

对于举例中的张先生的情形,解得的结果是,张先生这十年定投里,获得的“月平均收益率”是1.06%,对应的“年平均收益率”是13.48%。

如果是简单将10年定投折算成“所有的钱平均投资5年”,仍考虑复利,得到的“年平均收益率”是: 2^(1/5) - 1=14.87%。这个结果虽然略有高估,但与正确答案已经相去不远了。

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